分数除法“颠倒相乘”的算理

小学阶段，我们学习了分数除法，总结出了分数除法的计算法则：除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数，法则非常简单好记。可是，为什么要把分数除法转化为乘除数的倒数来计算呢？教材上虽然也有例题进行推导，但却呈现得非常简单。如果教师不从深层次上去引导学生思考，探究其中的算理，学生很难知其所以然。不明白乘除法的内在逻辑，就必然会导致在计算中出现一起问题。我们可以从四个不同的角度来理解其中的道理。

一、为何要把分数除法变为乘法进行计算？

这要从分数乘法和除法的特征对比来看。分数乘法的法则是：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。根据乘、除法的关系，分数除法的原始法则和分数乘法类似：分子相除的商作分子，分母相除的商作分母。

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$\frac{9}{16} \div \frac{3}{4}=\frac{9 \div 3}{16 \div 4}=\frac{3}{4}$ ，$\frac{25}{32} \div 5=\frac{25 \div 5}{32}=\frac{5}{32}$

但使用这种方法有一个很大的局限性，因为像上面式子中分子、分母都能整除的情况是很少的。

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如：$\frac{7}{8} \div \frac{3}{5}=\frac{7 \div 3}{8 \div 5}$，分子和分母分别相除，无法整除。

分母或者分子相除不能整除，其结果就会出现小数或者繁分数的情况，这就使计算结果变得更为复杂。所以分数除法，一般不采用分子相除、分母相除的办法。二、从分数的意义来理解

针对除数是整数的情况，可以用分数的意义来理解。（分数的意义是：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数。）

比如：$\frac{4}{5} \div 3$ ，就是把$\frac{4}{5} $ 平均分3份，每份是多少，也就是求$\frac{4}{5}$ 的$\frac{1}{3}$ 是多少，用算式可以表示为：
$\frac{4}{5} \times \frac{1}{3}$。所以：$\frac{4}{5} \div 3=\frac{4}{5} \times \frac{1}{3}$

三、从分数除法的实际意义来理解

比如： $\ 15\div \frac{3}{4}$ ,根据分数除法的意义，可以理解为：一个数的$\frac{3}{4}$是15，求这个数。可以进一步转化为：把一个数平均分成4份，取其中的3份是15，求这个数是多少。因此，可以先求出1份是多少，再求出4份是多少。其中，1份就是15÷3=5,那么4份就是5×4=20。由此可以得到：$15 \div \frac{3}{4}=15 \div 3 \times 4=15 \times 4 \div 3=15 \times \frac{4}{3}$。

四、从乘除法的运算性质来理解

根据分数与除法的关系： $ \frac{a}{b}=a \div b(b\ne0)$。分数的分子相当于除法算式中的被除数，分母则相当于除数。因此，如：$\frac{3}{8}\div\frac{3}{4}$,可以转化为：$\frac{3}{8} \div(3 \div 4)$来计算。接下来，再根据除法的运算性质(一个数除以两个数的商，等于这个数先除以商中的被除数，再乘商中的除数)可将算式变换为：$\frac{3}{8} \div(3 \div 4)=\frac{3}{8} \div 3 \times 4=\frac{3}{8} \times \frac{3}{4}$。

五、从商不变的性质来理解

如果以上解释让你还有疑惑，那这就是终极解释！计算下面这道题：2.4÷0.25。常规的算法是利用商不变的性质，先将算式转化为：240÷25，再列竖式进行计算。此外，还有一个更为简便的算法，同样也是运用商不变的性质，把被除数和除数乘4，让除数变为1。即将算式变为（2.4×4）÷（0.25×4）来计算，因为，0.25×4=1，所以相当于计算2.4×4就行了。而我们知道，0.25和4是互为相反数的。所以在小数除法中，可以利用商不变的性质，把被除数和除数都乘上除数的倒数，使除数变为1,让原来的除法变为了乘法，使计算变得简单，而结果却不变。回到分数除法，也同样有类似的方法。

如计算：$\frac{7}{8} \div\frac{3}{5}$，利用商不变的性质，被除数和除数都乘除数$\frac{3}{5}$的倒数$\frac{5}{3}$，即：$\left(\frac{7}{8} \times \frac{5}{3}\right) \div\left(\frac{3}{5} \times \frac{5}{3}\right)=\frac{7}{8} \times \frac{5}{3}$。略去中间步骤，得：$\frac{7}{8} \div \frac{3}{5}=\frac{7}{8} \times \frac{5}{3}$ 。

数学中最朴素的原则往往是最有效的，个人觉得这就是最简单明了的解释。虽然有多种不同的角度的理解，但可以看出，分数除法计算最终都能表现为被除数与除数颠倒后相乘的形式。此外，将分数除法转化为乘法后，乘法的运算律都可以派上用场了。